Trasformatori

Caratteristiche di funzionamento a vuoto, a carico e in corto circuito.  13/07/2006 Vigonovo.

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TRASFORMATORI.            (inizio stesura 23/07/2005)

Il trasformatore è una macchina elettrica statica composto da tre parti.

  1. avvolgimento primario: assorbe energia con un determinato valore V e frequenza.
  2. uno o più avvolgimenti secondari: restituisce l’energia, a meno delle perdite, alla stessa frequenza ma a diversa tensione.
  3. un circuito magnetico chiuso:Nucleo, dove si chiude la maggiore parte del flusso magnetico messo in gioco dalle correnti che percorrono gli avvolgimenti avvolti attorno ad esso trattandosi di flusso alternato, il nucleo è formato da lamierini magnetici di piccolo spessore e di alta permeabilità isolati tra loro e con il piano di laminazione parallelo alle linee di flusso in modo da ridurre le perdite per correnti parassite che risultano perpendicolari a B (vettore induzione).

TIPI DI TRASFORMATORI.

Costruttivamente i trasformatori possono avere i nuclei  a colonne o a mantello o corazzati. Un’altra soluzione costruttiva per i trasformatori trifase è rappresentata dal nucleo a cinque colonne.

Gli avvolgimenti possono essere concentrati o a bobine alternate.

Nella maggioranza dei casi i trasformatori trifase presentano nucleo a colonne ed avvolgimenti concentrici.

I trasformatori vengono raffreddati in aria o in olio e la circolazione può essere naturale o forzata.

 

 

FUNZIONAMENTO A VUOTO.

 

Io corrente a vuoto.

 

 

La corrente Io percorrendo le N1 spire da luogo nel circuito magnetico ad un flusso sinusoidale  Ø che concatena sia le N1 che le N2 spire.

 

 

La f.e.m. E1 e E2 indotte dal flusso Ø rispettivamente nell’avvolgimento primario e nel secondario sono esprimibili nella forma seguente.

L'uguaglianza di segno tra E1 e E2 è conseguente al verso concorde di percorrenza assunto per i due avvolgimenti supposti avvolti fisicamente nello stesso verso.

La circolazione della corrente Io da luogo nel primario a una caduta di tensione.

 

 

Questa è generalmente piccola e trascurabile rispetto a V1 alle estremità delle N1 spire si ha una tensione:

 

Che è equilibrata dalla f.e.m. E1 che il flusso induce nelle N1 spire è di valore:

 

Esprimiamo il flusso che genera le cadute al primario.

 

In base alla legge di Ohm per i circuiti magneti vale:

 

Si ottiene pertanto la corrente a vuoto nel primario che vale:

Ro è la riluttanza del circuito magnetico percorso dal flusso principale.

Trascurando la caduta Z1Io rispetto a V1 si ricava direttamente la corrente a vuoto in funzione della tensione di alimentazione.

La riluttanza Ro è complessa a causa delle perdite nel ferro del nucleo.

Ne consegue che la corrente Io  non è in fase con Øm che è sfasata di un angolo  φo < π / 2 rispetto alle tensioni  E’1 pertanto le due componenti :

 

Ia  persa nel ferro, in fase con  E’1 componente attiva della corrente a vuoto,ad essa corrisponde la potenza attiva E’1 * Ia che compensa le perdite nel ferro del nucleo.

 

 

Iμ in quadratura con E’1 e quindi in fase con Øm (componente magnetizzante della corrente a vuoto); ad essa corrisponde la potenza reattiva E’1 * Iμ necessaria per magnetizzare il nucleo e produrre il flusso.

 

 

 

TRASFORMATORI:PRINCIPI DI BASE.

 

Il flusso Ø è imposto dalla tensione E1 che fa equilibrio alla E’1  , quindi essendo trascurabile la corrente Io e la sua caduta su Z1 allora E’1 circa V1.

Quindi quella che troviamo al secondario è imposto dalla corrente al primario.

Ne consegue che al primario dovrà per forza fluire oltre alla Io una corrente I12 tale che percorrendo le N1 spire, crei una f.m.m. N1* I12 tale da annullare l’effetto di reazione della corrente I2.

Da queste relazioni si ricava l’importante equazione che definisce la corrente del secondario riferito al primario.

 

Moltiplicando ogni addendo per N1 si ottiene :

I1 N1 = IoN1 + I12

Se ne ricava:

Quindi si deduce che la corrente Io produce a vuoto gli stessi effetti che sviluppano le correnti I1 e I2 a carico, e quindi la tensione sull’avvolgimento secondario V2.

Nei trasformatori a vuoto , trascurando la caduta Z1* Io rispetto a  V1, si ricava la corrente a vuoto in funzione della caduta di alimentazione. La riluttanza Ro è complessa a causa delle perdite nel ferro del nucleo. Ne consegue che la corrente Io non è in fase con Øm  ed è sfasata di un angolo φo < π/2 rispetto alla tensione  E’1. e presenta due componenti:

 

Ia in fase con E’1  (componente attiva della corrente a vuoto), ad essa corrisponde la potenza attiva E’1 *  Ia che compensa le perdite nel ferro.

Iμ in quadratura con E’1 e quindi in fase con Øm che è la componente magnetizzante della corrente a vuoto:  ad essa corrisponde la potenza reattiva   E’1 * Iμ  necessaria per magnetizzare il nucleo e produrre il flusso.

Io = Ia + Iμ  

Il circuito che riassume le due componenti è :

 

Al primario e al secondario valgono le relazioni:

Si definisce quindi:

 

FUNZIONAMENTO A CARICO.

 

Lo studio del trasformatore monofase a carico si sviluppa analizzando il circuito secondario.

Consideriamo la corrente I2, essa da origine alla forza magneto motrice M2.

 

M2 = N2 * I2

 

Tale forza magneto motrice per la legge di Lenz tende ad opporsi  alla causa che la ha generata cioè il flusso principale Ø.

Il flusso Ø che origina M2 è imposto dalla tensione E1 che fa equilibrio alla E’1 cioè a parte la caduta di tensione generalmente modesta dovuta al passaggio di corrente nel  primario, è imposta “M2” dalla tensione impressa V1 del primario ad ampiezza costante.

 

 

Deve quindi necessariamente fluire nel primario oltre alla corrente Io una corrente I12 che percorrendo le N1 spire del primario crei una f.m.m.  N1 I12 che neutralizzi l’effetto di reazione della corrente I2.

 

Se la relazione  I1 = Io + I12  la moltiplico per N1 otteniamo:

N1 I1 = Io N1 + I12 N1

Mettiamo in evidenza Io e aggiustiamo i segni.

Io N1 = N1 I1 + I12 N1  per la lagge di Lenz vale -I12 N1 = I2 N2

Quindi rimane:

 

I1n  e I2n sono i valori per i quali il trasformatore dimensionato quando durante il normale funzionamento il trasformatore eroga una corrente I2 minore della corrente I2n allora definiamo il grado di carico:

Il diagramma fasoriale del trasformatore a carico è:

FUNZIONAMENTO IN CORTO CIRCUITO.

Nel funzionamento in corto circuito l’impedenza del carico esterno al secondario risulta nulla, quindi  Ze = 0 ne consegue  V2 = 0. La corrente I2 è conseguentemente data dallo studio della maglia del secondario secondo la legge di kirchhoff.

Questa corrente può essere studiata in modulo con l’usuale metodo per i complessi. 

La I12 è molto maggiore della corrente Io che risulta quindi trascurabile. (vedi diagramma)

Definiamo la tensione di corto circuito V1cc come la tensione ridotta ad una opportuna percentuale secondo la quale circolano nel primario e nel secondario le correnti nominali I1n e I2n.

CIRCUITI EQUIVALENTI.

Una volta che sia definito il rapporto spire "n" possiamo definire anche tutte le successive uguaglianze:

La resistenza del secondario riferita al primario è data dalla relazione:

La reattanza del secondario riferita al primario è data dalla relazione: 

 L’impedenza del secondario riferita al primario è:

 

La tensione del secondario riferita al primario è data da:

Per tenere conto delle componenti attiva Ia e magnetizzante Iu della corrente a vuoto Io, l’impedenza  Zo può essere rappresentata come il parallelo di una resistenza Ro e di una reattanza Xo tali che:

Le componenti delle varie correnti e la corrente Io% sono :

 

CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRASFORMATORE RIFERITO AL PRIMARIO. 

 

Come si ottiene il circuito equivalente.

 

Da cui moltiplicando tutti i termini per -N1/N2 

Essendo I2 = -(N1/N2) *I12  

 

Facciamo le posizioni sottostanti:

 

 

Ora possiamo sostituire la relazione trovata nella prima del sistema iniziale.

Sistemiamo raccogliendo a fattore comune:

 

Questo consente di rappresentare il circuito tutto riferito al primario.

Il diagramma vettoriale relativo al funzionamento  a carico del circuito semplificato si trova tutto nel primo quadrante.

 

 

Ne consegue che: si può ulteriormente semplificare il circuito equivalente se si ammette una ulteriore approssimazione.

Riferiamo quindi la resistenza degli avvolgimenti al primario, come anche la reattanza degli stessi.

 

Così che il ramo derivato dalla corrente a vuoto Io è connesso direttamente all’ingresso.

È possibile trascurare  Io nel modello quando questo risulta molto più piccolo di I1 e V12 (ma comunque presente perché serve la componente magnetizzante Iu del nucleo).

 

Importante: trasformatore ideale e potenza nominale.

le cadute di tensione al primario e al secondario sono piccole rispetto a V1 e V2 si può scrivere V1circa ugualeV12

Essendo Io piccola rispetto I1 e I12

Relazione che evidenzia lo scopo della macchina, ovvero trasferire energia dal primario al secondario (potenza sull’unità di tempo) modificando tensioni e correnti.

 

IL TRASFORMATORE IDEALE E’ UNA MACCHINA ELETTRICA STATICA TRASPARENTE ALLA POTENZA ELETTRICA TRASFERITA.

 

 

Con Pn indichiamo la potenza nominale.

 

Con αn  indichiamo il grado di carico.

 

DETERMINAZIONE DEI PARAMETRI DEL CIRCUITO EQUIVALENTE.

Riferendoci a V1 si ha lo schema:

DETERMINAZIONE SPERIMENTALE.

Un’approssimazione appropriata dei parametri del circuito equivalente qui disegnato si ricavano con due prove:

La prima prova è la prova a vuoto per trovare Ro e Xo.

Alimentando il primario con Vm, lasciare aperto il secondario.

Tutta la corrente passa attraverso il ramo in derivazione.

Essendo R1 e X1  molto piccoli rispetto a Ro  e Xo si può ritenere che tutta la tensione applicata ai morsetti sia applicata alla derivazione.

 

Si considerino gli strumenti come ideali cioè a consumo nullo.

Si misura V1n e la corrente a vuoto Io e la potenza assorbita a vuoto Po.

Essendo:

Si ricava facilmente:

Per gli altri parametri vale:

 

PROVA IN CORTO CIRCUITO.    (per trovare R’ e X’)

 

Essendo il secondario chiuso in corto circuito si alimenta il primario all’opportuna tensione V1cc che fa circolare la I1n.

Quindi il trasformatore può funzionare in queste condizioni anche per un tempo indefinito.

Io è molto piccola rispetto a I1n quindi si trascura.

La caduta di tensione avviene tutta su R’=R1+R12  e su X’ =X1+X12

Viene misurata la V1cc e la corrente primaria I1n (consideriamo gli strumenti ideali) e la potenza di corto circuito Pcc.

Essendo:

Si ricava:

Ma la reattanza che non può essere direttamente misurata sarà calcolata tramite i fasori.

 

DETERMINAZIONE IN SEDE DI PROGETTO.

Si fa riferimento al modello semplificato:

 

Calcolo di Ro.

E’ ricavabile dalla relazione Ro=(V1n2 / Po)

Poiché la tensione V1n è un dato del problema, il calcolo di Ro richiede la determinazione delle perdite a vuoto Po.

Se si considera un nucleo a colonne con circuito  magnetico di lunghezza L e sezione S costante, e induzione uniforme, risulta:

 

 

CALCOLO DI XO.

È dato dal rapporto Xo = V1n/Iu pertanto bisogna trovare il valore efficace di Iu.

Considerato un nucleo a colonne a S costante e lunghezza L, si trascurano le perdite per isteresi, la caratteristica magnetizzazione che esprime l’andamento dell’induzione B nel nucleo è data, in funzione del campo H, da:

 

Le curve caratteristiche della magnetizzazione trascurando le perdite sono:

 

 

Curve della magnetizzazione senza trascurare le perdite (per isteresi). 

 

 

Calcolo di R’ =R1 + R12

I1n è un dato del problema ma non lo sono Pcc1 e Pcc2 che vanno ricavate.

Pcc1 e Pcc2 sono davute all’effetto Joule sul primario e sul secondario.

CALCOLO DI X’=X1+X2.

Essa viene determinata in base all’energia immagazzinata dal campo magnetico:

1 nei conduttori avvolti a solenoide

2 nel volume del nucleo.

La reattanza di dispersione X’ è associata a X12 -> L12 presa come induttanza totale L = L1 + L12.

X1 + X12 = X = ωL

Integro l’espressione energetica sul volume.

Una volta integrato e semplificato il fattore ½ si ottiene:

E quindi si ha: 

 

VARIAZIONE DI TENSIONE DA VUOTO A CARICO.

Consideriamo il sottostante circuito semplificato del trasformatore monofase.

 

Questo studio è facilitato dall’utilizzo del diagramma di Kapp.

Questo diagramma consente una rapida visualizzazione della variazione ΔV12 variando l’angolo φe

Si dimostra con la trigonometria applicata ai vari segmenti del diagramma di Kapp. Che vale la seguente relazione per la caduta di tensione ΔV12 tra vuoto e carico.

L’ultimo addendo è trascurabile (si accetta di trascurarlo) si ottiene quindi la relazione pratica da usare negli esercizi.

 

Inoltre essendo piccola la Io rispetto la corrente I12 posso sostituirla con la I1 (come si vede nel nodo del circuito semplificato).

 

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